צעד בלי בסיסאינדוקציה 571 · שיעור 18

אינדוקציה · שאלון 571

שיעור 18: צעד בלי בסיס

פרק 5 – הוכחה תקינה או שגויה

1נוסח השאלה

2סעיף א – שלב הצעד

3סעיף ב – האם הטענה נכונה?

📄 נוסח השאלה

לפניכם טענה: לכל n טבעי מתקיים

1 + 2 + … + n = n² + n + 22

א. הוכיחו: אם הטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו, אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1.

ב. האם הטענה נכונה לכל n טבעי? נמקו.

סעיף א – שלב הצעד

1 + 2 + … + n = n² + n + 22

מניחים:

1 + 2 + … + k = k² + k + 22

צריך להוכיח:

1 + … + k + (k + 1)

= (k + 1)² + (k + 1) + 22

נציב את ההנחה באגף שמאל:

📐 הנחת האינדוקציה

= k² + k + 22 + (k + 1)

= k² + k + 2 + 2k + 22

📐 הנחת האינדוקציה

1 + 2 + … + k = k² + k + 22

סעיף א – שלב הצעד · המשך

1 + 2 + … + n = n² + n + 22

= k² + k + 2 + 2k + 22

= k² + 3k + 42

נפתח את אגף ימין:

📐 נוסחת הכפל המקוצר

(k + 1)² + (k + 1) + 22

= k² + 2k + 1 + k + 1 + 22

= k² + 3k + 42 ✓

שני האגפים שווים, ולכן שלב הצעד מתקיים.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 נוסחת הכפל המקוצר

(a + b)² = a² + 2ab + b²

סעיף ב – האם הטענה נכונה?

1 + 2 + … + n = n² + n + 22

נבדוק את שלב הבסיס, n = 1:

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל:

אגף ימין:

1 + 1 + 22 = 42 = 2

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף ב – האם הטענה נכונה? · המשך

1 + 2 + … + n = n² + n + 22

1 + 1 + 22 = 42 = 2

1 ≠ 2

הטענה לא נכונה כבר בעבור n = 1. שלב הצעד לבדו אינו הוכחה: הוא רק אומר שאם הטענה נכונה בעבור מספר כלשהו אז היא נכונה גם בעבור הבא – אבל אין מספר שממנו מתחילים.

(למעשה הסכום שווה ל־n(n + 1)2, ולכן אגף ימין גדול ממנו ב־1 לכל n.)

✅ פתרון סופי: לא. שלב הבסיס לא מתקיים (1 ≠ 2), ולכן הטענה אינה נכונה

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא